用C(n,k)表示n個中取k個的組合數(shù).
1.(x-1/x)^2n 的展開式中第k項可以表示為 C(2n,k)*x^k*(-1/x)^(2n-k).所以若要某項是常數(shù),只能 x^k*(-1/x)^(2n-k)是常數(shù),從而 k=2n-k,k=n.由此可知常數(shù)項為
C(2n,n)*(-1)^n
=(2n)!/(n!)^2*(-1)^n
=[(1*3*5*...*(2n-1))*(2*4*6*...*2n)/(n!)^2]*(-1)^n
=[(1*3*5*...*(2n-1))*2^n*(1*2*3*...*n)/(n!)^2]*(-1)^n
=[(1*3*5*...*(2n-1))*2^n/n!]*(-1)^n
=(-2)^n*(1*3*5*...*(2n-1))/n!
2.展開式中二項式系數(shù)從C(2n,0)到C(2n,2n)共2n+1項,因此中間項的二項式系數(shù)為C(2n,n),從而中間項為 C(2n,n)*x^n.
C(2n,n)與上面完全類似可以求得為：(1*3*5*...*(2n-1))*2^n/n!,從而中間項C(2n,n)*x^n=(2x)^n*(1*3*5*...*(2n-1))/n!
3.利用二項式展開：
(n+1)^n
=C(n,0)*n^n+C(n,1)*n^(n-1)+...+C(n,n-2)*n^2+C(n,n-1)*n+1
所以(n+1)^n-1=C(n,0)*n^n+C(n,1)*n^(n-1)+...+C(n,n-2)*n^2+C(n,n-1)*n.
容易看出C(n,0)*n^n,C(n,1)*n^(n-1),...,C(n,n-2)*n^2均能被n^2整除.因此只要說明C(n,n-1)能被n^2整除.事實上,C(n,n-1)=n,所以C(n,n-1)*n=n^2能被n^2整除.因此(n+1)^n-1能被n^2整除.