微積分導(dǎo)函數(shù)連續(xù)
當x不為0時,f(x)=x^2sin(1/x);當x=0時,f(x)=0,此函數(shù)在R上處處可導(dǎo),但導(dǎo)函數(shù)在0點不連續(xù)
如果去計算一下是的,當x不等于零時,導(dǎo)函數(shù)無法求極限得出x=0的倒數(shù),在x=0點的導(dǎo)數(shù)只能按定義求出來的,如果我們研究整個導(dǎo)函數(shù)的圖像的話,發(fā)現(xiàn)雖然是個分段函數(shù),只不過在圖像上,雖然在趨近于0的地方倆測到函數(shù)圖像是個無限震蕩的情況,然后零點的導(dǎo)數(shù)值確實為零,我想這是不是導(dǎo)函數(shù)由于自己函數(shù)的局限,無法求出在某一點的極限,使得該點只能按定義求.
就好比我們那個定理：如果函數(shù)連續(xù)可導(dǎo),導(dǎo)函數(shù)在某一點的極限存在,那么這點的倒數(shù)就是這個極限,但如果這個極限求不出來,就按定義求.所以我想這樣的事情可能就是導(dǎo)函數(shù)自己的某些特性使得無法求出某一點的極限,但是那一點的極限其實還是存在的,通過其它方式,如定義的方法,幫我們找到了它.
如果真是這樣,那么連續(xù)又可導(dǎo)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)本質(zhì)還是連續(xù),就好比看圖像時,處處光滑,它的斜率,切線旋轉(zhuǎn)過了每個角度,得到過每個值,這不就是連續(xù)么?
能舉個反例么?