遇到a[n]與S[n]的關(guān)系,要熟練地利用a[n]=S[n]-S[n-1](n≥2)這個(gè)關(guān)系式.一定要記得驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí),利用S[1]=a[1]驗(yàn)證上述通項(xiàng)公式是不是也成立.如果當(dāng)n=1時(shí),a[1]不符合剛才求的通項(xiàng)公式,那么通項(xiàng)公式就要分“n=1時(shí)”和“n≥2時(shí)”這2種情況寫出來.雖然在大多數(shù)情況下,驗(yàn)證都是成立的,而且看起來很啰嗦.但問題不僅僅是考試扣不扣分的問題(當(dāng)然不寫完整肯定扣分),而是一個(gè)人做事的邏輯是否縝密的問題.開始時(shí)求的通項(xiàng)公式僅僅在n≥2時(shí)成立,從邏輯上不能包括n=1時(shí)的情況,哪怕答案是一致的.對(duì)一件事情下定論時(shí)必須要有充分的理由!書寫“a[n]=S[n]-S[n-1](n≥2)”這個(gè)式子時(shí),后面小括號(hào)內(nèi)對(duì)n的范圍的說明也不能少,否則會(huì)扣分.如果使用的方法是“a[n+1]=S[n+1]-S[n]”,那就不必寫“(n≥1)”這句廢話了.無論用什么關(guān)系式下手,最后還是得驗(yàn)證a[1]是否符合通項(xiàng).
∵a[n]=2S[n-1](n≥2)
∴a[n+1]=2S[n]
以上2個(gè)式子相減得：
a[n+1]-a[n]=2(S[n]-S[n-1])=2a[n]
a[n+1]=3a[n]
∵a[1]=1,故a[n]是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,a[n]的通項(xiàng)公式為a[n]=3^(n-1)(n≥2).
當(dāng)n=1時(shí),a[2]=2S[1]=2a[1],自己算算a[1]看看通項(xiàng)公式需不需要寫成分段函數(shù)的形式.