一、例子
[例1] 高爾頓釘板試驗(yàn).
圖中每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列,下一排的每個(gè)釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設(shè)有排釘子,從入口中處放入小圓珠.由于釘板斜放,珠子在下落過(guò)程中碰到釘子后以的概率滾向左邊,也以的概率滾向右邊.如果較大,可以看到許多珠子從處滾到釘板底端的格子的情形如圖所示,堆成的曲線近似于正態(tài)分布.
如果定義:當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向右邊,令;當(dāng)?shù)诖闻龅结斪雍鬂L向左邊,令.則是獨(dú)立的,且
那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態(tài).可以想象,當(dāng)越來(lái)越大時(shí)接近程度越好.由于時(shí),.因此,顯然應(yīng)考慮的是的極限分布.歷史上德莫佛第一個(gè)證明了二項(xiàng)分布的極限是正態(tài)分布.研究極限分布為正態(tài)分布的極限定理稱為中心極限定理.
二、中心極限定理
設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,假設(shè)存在,若對(duì)于任意的,成立
稱服從中心極限定理.
[例2] 設(shè)服從中心極限定理,則服從中心極限定理,其中為數(shù)列.
解:服從中心極限定理,則表明
其中.由于,因此
故服從中心極限定理.
三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理
在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則
[例3] 用頻率估計(jì)概率時(shí)的誤差估計(jì).
由德莫佛—拉普拉斯極限定理,
由此即得
第一類問(wèn)題是已知,求,這只需查表即可.
第二類問(wèn)題是已知,要使不小于某定值,應(yīng)至少做多少次試驗(yàn)?這時(shí)利用求出最小的.
第三類問(wèn)題是已知,求.
解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,則利用,可得如下估計(jì): .
[例4] 拋擲一枚均勻的骰子,為了至少有0.95的把握使出現(xiàn)六點(diǎn)的概率與之差不超過(guò)0.01,問(wèn)需要拋擲多少次?
解:由例4中的第二類問(wèn)題的結(jié)論,.即.查表得.將代入,便得. 由此可見(jiàn),利用比利用契比曉夫不等式要準(zhǔn)確得多.
[例5] 已知在重貝努里試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為為次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從二項(xiàng)分布:
的隨機(jī)變量.求.
解:
因?yàn)楹艽?于是
所以
利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,就可以求出的值.
[例6] 某單位內(nèi)部有260架電話分機(jī),每個(gè)分機(jī)有0.04的時(shí)間要用外線通話,可以認(rèn)為各個(gè)電話分機(jī)用不用外線是是相互獨(dú)立的,問(wèn)總機(jī)要備有多少條外線才能以0.95的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.
解:以表示第個(gè)分機(jī)用不用外線,若使用,則令;否則令.則.
如果260架電話分機(jī)同時(shí)要求使用外線的分機(jī)數(shù)為,顯然有.由題意得,
查表得,故取.于是
取最接近的整數(shù),所以總機(jī)至少有16條外線,才能有0.95以上的把握保證各個(gè)分機(jī)在使用外線時(shí)不必等候.
[例7] 根據(jù)孟德?tīng)栠z傳理論,紅黃兩種番茄雜交第二代結(jié)紅果植株和結(jié)黃果植株的比率為3:1,現(xiàn)在種植雜交種400株,試求結(jié)黃果植株介于83和117之間的概率.
解:將觀察一株雜交種的果實(shí)顏色看作是一次試驗(yàn),并假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的.在400株雜交種中結(jié)黃果的株數(shù)記為,則.
由德莫佛—拉普拉斯極限定理,有
其中,即有
四、林德貝格-勒維中心極限定理
若是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,假設(shè),則有
證明:設(shè)的特征函數(shù)為,則
的特征函數(shù)為
又因?yàn)?所以
于是特征函數(shù)的展開(kāi)式
從而對(duì)任意固定的,有
而是分布的特征函數(shù).因此,
成立.
[例8] 在數(shù)值計(jì)算時(shí),數(shù)用一定位的小數(shù)來(lái)近似,誤差.設(shè)是用四舍五入法得到的小數(shù)點(diǎn)后五位的數(shù),這時(shí)相應(yīng)的誤差可以看作是上的均勻分布.
設(shè)有個(gè)數(shù),它們的近似數(shù)分別是,.,.令
用代替的誤差總和.由林德貝格——勒維定理,
以,上式右端為0.997,即以0.997的概率有
[例9] 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,其中,證明:的分布函數(shù)弱收斂于.
證明:為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且互相獨(dú)立,所以仍是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,易知有
由林德貝格——勒維中心極限定理,知的分布函數(shù)弱收斂于,結(jié)論得證.
作業(yè):
P222 EX 32,33,34,35
五、林德貝爾格條件
設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又
令,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化了的獨(dú)立隨機(jī)變量和
的分布
當(dāng)時(shí),是否會(huì)收斂于分布?
[例10] 除以外,其余的均恒等于零,于是.這時(shí)就是的分布函數(shù).如果不是正態(tài)分布,那么取極限后,分布的極限也就不會(huì)是正態(tài)分布了.因而,為了使得成立,還應(yīng)該對(duì)隨機(jī)變量序列加上一些條件.從例題中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一項(xiàng)是起突出作用.由此認(rèn)為,在一般情形下,要使得收斂于分布,在的所有加項(xiàng)中不應(yīng)該有這種起突出作用的加項(xiàng).因?yàn)榭紤]加項(xiàng)個(gè)數(shù)的情況,也就意味著它們都要“均勻地小”.
設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又,這時(shí)
(1)若是連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為,如果對(duì)任意的,有
(2)若是離散型隨機(jī)變量,的分布列為
如果對(duì)于任意的,有
則稱滿足林德貝爾格條件.
[例11] 以連續(xù)型情形為例,驗(yàn)證:林德貝爾格條件保證每個(gè)加項(xiàng)是“均勻地小”.
證明: 令,則
于是
從而對(duì)任意的,若林德貝爾格條件成立,就有
這個(gè)關(guān)系式表明, 的每一個(gè)加項(xiàng)中最大的項(xiàng)大于的概率要小于零,這就意味著所有加項(xiàng)是“均勻地小”.
六、費(fèi)勒條件
設(shè)是獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又,稱條件為費(fèi)勒條件.
林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件,但不是必要條件.費(fèi)勒指出若費(fèi)勒條件得到滿足,則林德貝爾格條件也是中心極限定理成立的必要條件.
七、林德貝爾格-費(fèi)勒中心極限定理
引理1 對(duì)及任意的,
證明:記,設(shè),由于
因此, ,其次,對(duì),
用歸納法即得.
由于,因此,對(duì)也成立.
引理2 對(duì)于任意滿足及的復(fù)數(shù),有
證明:顯然
因此,
由歸納法可證結(jié)論成立.
引理3 若是特征函數(shù),則也是特征函數(shù),特別地
證明 定義隨機(jī)變量
其中相互獨(dú)立,均有特征函數(shù),服從參數(shù)的普哇松分布,且與諸 獨(dú)立,不難驗(yàn)證的特征函數(shù)為,由特征函數(shù)的性質(zhì)即知 成立.
林德貝爾格-費(fèi)勒定理
定理 設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又 .令 ,則
(1)
與費(fèi)勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.
證明:(1)準(zhǔn)備部分
記
(2)
顯然(3)
(4)
以及分別表示的特征函數(shù)與分布函數(shù),表示的分布函數(shù),那么(5)
這時(shí)
因此林德貝爾格條件化為:對(duì)任意,
(6)
現(xiàn)在開(kāi)始證明定理.設(shè)是任意固定的實(shí)數(shù).
為證(1)式必須證明
(7)
先證明,在費(fèi)勒條件成立的假定下,(7)與下式是等價(jià)的:
(8)
事實(shí)上,由(3)知,又因?yàn)?br/>故對(duì)一切,
把在原點(diǎn)附近展開(kāi),得到
因若費(fèi)勒條件成立,則對(duì)任意的,只要充分大,均有
(9)
這時(shí)
(10)
對(duì)任意的,只要充分小,就可以有
(11)
因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有
(12)
因?yàn)榭梢匀我庑?故左邊趨于0,因此,證得(7)與(8)的等價(jià)性.
(2)充分性
先證由林德貝爾格條件可以推出費(fèi)勒條件.事實(shí)上,
(13)
右邊與無(wú)關(guān),而且可選得任意小;對(duì)選定的,由林德貝爾格條件(6)知道第二式當(dāng)足夠大時(shí),也可以任意地小,這樣,費(fèi)勒條件成立.
其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
因此
(14)
對(duì)任給的,由于的任意性,可選得使,對(duì)選定的,用林德貝爾格條件知只要充分大,也可使.因此,已證得了(8),但由于已證過(guò)費(fèi)勒條件成立,這時(shí)(8)與(7)是等價(jià)的,因而(7)也成立.
(3)必要性
由于(1)成立,因此相應(yīng)的特征函數(shù)應(yīng)滿足(7).但在費(fèi)勒條件成立時(shí),這又推出了(8),因此,
(15)
上述被積函數(shù)的實(shí)部非負(fù),故
而且
(16)
因?yàn)閷?duì)任意的,可找到,使,這時(shí)由(15),(16)可得
故林德貝爾格條件成立.
八、李雅普諾夫定理
設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,又.令,若存在,使有
則對(duì)于任意的,有