若定義在[-2010，2010]上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x1，x2∈[-2010，2010]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2009，且x＞0時(shí)有f（x）＞2009，f（x）的最大值、最小值分別為M、N，則M+N=（　　）

若定義在[-2010，2010]上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，且x＞0時(shí)有f（x）＞2009，f（x）的最大值、最小值分別為M、N，則M+N=（　　）
A. 2009
B. 2010
C. 4020
D. 4018

數(shù)學(xué)人氣：651 ℃時(shí)間：2020-01-28 06:44:29

優(yōu)質(zhì)解答

令g（x）=f（x）-2009，則由已知對(duì)任意x₁，x₂∈[-2010，2010]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2009，
f（x₁+x₂）-2009=[f（x₁）-2009]+[f（x₂）-2009]，
可得g（x₁+x₂）=g（x₁）+g（x₂）且 x＞0時(shí)，g（x）＞0
令x₁=x₂=0可得g（0）=0
令x₁=x，x₂=-x，則可得g（0）=g（-x）+g（x）=0，則 g（-x）=-g（x），所以 g（x）是奇函數(shù)
若 g（x）最大值為m，則最小值為-m
因此，由f（x）=g（x）+2009 得 f（x）最大值為m+2009，最小值為-m+2009，
所以 M+N=m+2009+（-m）+2009=4018
故選D

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