解;
(I)由定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則有f(0)=a+1/(1+2^0)=0,得到a=-1/2
(II)f(x)=-1/2+1/(1+2^x)
設(shè)x1>x2
f(x1)-f(x2)=1/(1+2^x1)-1/(1+2^x2)=(2^x2-2^x1)/[(1+2^x1)(1+2^x2)]
由于x1>x2,則有2^x1>2^x2,1+2^x1>0,1+2^x2>0
故有f(x1)-f(x2)<0
即有f(x1)所以,函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).
(III)由（Ⅰ）知f(x)= -1/2+1/(2^x+1) ,由(II)知f(x) 在 正負(fù)無(wú)窮上為減函數(shù).
又因 f(x)是奇函數(shù),從而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等價(jià)于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ,
因f(x) 為減函數(shù),由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．
即對(duì)一切t∈R 有：3t^2-2t-k>0 ,
從而判別式=4+12k<0 ==>k<-1/3