證明：（1）連接AC、BD，則BD⊥AC，
∵

BM

MA

=

BN

NC

，
∴MN∥AC，∴BD⊥MN．
又∵DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥MN，
∵BD∩DD₁=D，∴MN⊥平面BDD₁．
又P無(wú)論在DD₁上如何移動(dòng)，總有BP?平面BDD₁，
∴無(wú)論點(diǎn)P在D₁D上如何移動(dòng)，總有BP⊥MN．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，AM=NC=t，
則M（1，t，0），N（t，1，0），B₁（1，1，1），
P（0，0，

2

3

），B（1，1，0），A（1，0，0），
∵=（0，1-t，1），
B=(?1，?1，

2

3

)
又∵BP⊥平面MNB₁，
∴?B=0，
即t-1+

2

3

=0，∴t=

1

3

，
∴=（0，

2

3

，1），
M=（-

2

3

，

2

3

，0）．
設(shè)平面MNB₁的法向量n=（x，y，z），
由，
得x=y，z=-

2

3

y．
令y=3，則n=（3，3，-2）．
∵AB⊥平面BB₁N，
∴AB是平面BB₁N的一個(gè)法向量，AB=（0，1，0）．
設(shè)二面角M-B₁N-B的大小為θ，
∴cos＜n，A＞
=

|(3，3，?2)?(0，1，0)|

22

=

3 22

22

．
則二面角M-B₁N-B的余弦值為

3 22

22

．
（3）存在點(diǎn)P，且P為DD₁的中點(diǎn)，
使得平面APC₁⊥平面ACC₁．
證明：∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁．
取BD₁的中點(diǎn)E，連PE，
則PE∥BD，
∴PE⊥平面ACC₁．
∵PE?平面APC₁，
∴平面APC₁⊥平面ACC₁．