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  • 圓O方程為x^2+y^2=1,與x軸交于P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于PQ任意一點(diǎn),直線l:x=3,直線PM與l交于A點(diǎn),直線QM與l交于B點(diǎn),以AB為直徑的圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)?

    圓O方程為x^2+y^2=1,與x軸交于P,Q兩點(diǎn),M是圓O上異于PQ任意一點(diǎn),直線l:x=3,直線PM與l交于A點(diǎn),直線QM與l交于B點(diǎn),以AB為直徑的圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)?
    還沒學(xué)三角函數(shù)
    數(shù)學(xué)人氣:976 ℃時(shí)間:2019-12-13 14:39:38
    優(yōu)質(zhì)解答
    因?yàn)檫€不能上傳圖片,所以簡單說下示意圖的畫法.
    首先畫出示意圖,圓O以及直線PA、QB、AB,而后標(biāo)出圖中P(-1,0),Q(1,0),M、A兩點(diǎn)位于第一象限,B點(diǎn)位于第四象限.
    問以AB為直徑的圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)?很明顯的可以知道,圓C必不于坐標(biāo)軸Y軸相交,必于坐標(biāo)軸X軸相交.故需寫出圓C的方程式,再令其Y=0,則可求出定點(diǎn)的X坐標(biāo),即定點(diǎn)坐標(biāo)(X,0).
    如示意圖所示,知P(-1,0),Q(1,0),同時(shí)可設(shè)A(3,y1),B(3,y2)
    由P、A兩點(diǎn)可得直線PA:4y-y1*x-y1=0 (1)
    由Q、B兩點(diǎn)可得直線QB:2y-y2*x+y2=0 (2) (兩點(diǎn)求直線方程應(yīng)該學(xué)過吧)
    (1)、(2)式聯(lián)解,得:x=(2y2+y1)/(2y2-y1),y=y1*y2/(2y2-y1)即為點(diǎn)M的坐標(biāo).
    將點(diǎn)M的坐標(biāo)帶入圓O方程x²+y²=1,可求得:y1*y2=-8.(3)
    圓C直徑由A、B兩點(diǎn)知,得:D=y1-y2,半徑R=(y1-y2)/2
    圓心坐標(biāo)為(3,y1-(y1-y2)/2)=(3,(y1+y2)/2)
    故得出圓C方程:(x-3)²+(y-(y1+y2)/2)²=((y1-y2)/2)²
    化簡并取y=0,得:x²-6x+9+y1*y2=0
    將(3)式代入,得:x²-6x+1=0
    解得:x=3±2√2
    即得出以AB為直徑的圓C經(jīng)過定點(diǎn)(3±2√2,0).
    (注:y1、y2等中1、2等數(shù)字為下標(biāo).)
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