十字相乘 十字相乘法雖然比較難學(xué),但是一旦學(xué)會了它,用它來解題,會給我們帶來很多方便,以下是十字相乘法.
1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項系數(shù),右邊相乘等于常數(shù)項,交叉相乘再相加等于一次項系數(shù).
2、十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來分解因式.（2）用十字相乘法來解一元二次方程.
3、十字相乘法的優(yōu)點：用十字相乘法來解題的速度比較快,能夠節(jié)約時間,而且運用算量不大,不容易出錯.
4、十字相乘法的缺陷：1、有些題目用十字相乘法來解比較簡單,但并不是每一道題用十字相乘法來解都簡單.2、十字相乘法只適用于二次三項式類型的題目.3、十字相乘法比較難學(xué).
5、十字相乘法解題實例：
1)、 用十字相乘法解一些簡單常見的題目
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本題中常數(shù)項-12可以分為-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1當(dāng)-12分成-2×6時,才符合本題
因為 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5²+6x-8分解因式
分析：本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8,-2×4,-4×2,-8×1.當(dāng)二次項系數(shù)分為1×5,常數(shù)項分為-4×2時,才符合本題
因為 1 2
5 ╳ -4
所以5²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成關(guān)于x的一個二次三項式,則15可分成1×15,3×5.
因為 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6²-5x-25=0
分析：把6²5x-25看成一個關(guān)于x的二次三項式,則6可以分為1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1.
因為 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可變形成（2x-5）（3x+5）=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比較難的題目
例5把14²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一個關(guān)于x的二次三項式,則14可分為1×14,2×7,18y²可分為y.18y ,2y.9y ,3y.6y
因為 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-2y)(7x-9y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本題中,要把這個多項式整理成二次三項式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²;-25y+3）
4y -3
7y ╳ -1
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）
5 ╳ 4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
說明：在本題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1）,再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為[2x -（7y -1）][5x +（4y+3）]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y
=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1
5 x - 4y ╳ -3
說明:在本題中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
例7：解關(guān)于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解
x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0
x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b
2 ╳ +b
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）
1 ╳ -（a-b）
所以 x1=2a+b x2=a-b
注意
1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式分解因式時,應(yīng)注意以下問題：
(1)正確的十字相乘必須滿足以下條件：
a1 c1
在式子  中,豎向的兩個數(shù)必須滿足關(guān)系a1a2=a,c1c2=c；在上式中,斜向的
a2 c2
兩個數(shù)必須滿足關(guān)系a1c2+a2c1=b.
(2)由十字相乘的圖中的四個數(shù)寫出分解后的兩個一次因式時,圖的上一行兩個數(shù)中,a1是第一個因式中的一次項系數(shù),c1是常數(shù)項；在下一行的兩個數(shù)中,a2是第二個因式中的一次項的系數(shù),c2是常數(shù)項.
(3)二次項系數(shù)a一般都把它看作是正數(shù)(如果是負(fù)數(shù),則應(yīng)提出負(fù)號,利用恒等變形把它轉(zhuǎn)化為正數(shù),)只需把它分解成兩個正的因數(shù).
2.形如x+px+q的某些二次三項式也可以用十字相乘法分解因式.
3.凡是可用代換的方法轉(zhuǎn)化為二次三項式ax+bx+c的多項式,有些也可以用十字相乘法分解因式,如例4.