本題最簡單的方法是高斯公式補Σ1：z=2,x²+y²≤4,上側則兩曲面加起來為封閉曲面,由Gauss公式∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫ (1-1)dxdydz=0因此原積分與Σ1上的積分互為相反數(shù)原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy ...麻煩就用第二類曲面積分算下嘛，我老是算不出來其實做數(shù)學題應該是用合適的方法做適合的題，第二類曲面積分的主要方法是高斯公式，原始算法只是個次要方法，一般來說，平面的題會用它算就夠了。先算：-∫∫ z dxdy，將曲面投影到xoy面，下側取負，投影區(qū)域為：x²+y²≤4 -∫∫ z dxdy =(1/2)∫∫ (x²+y²) dxdy =(1/2)∫∫ r²r drdθ =(1/2)∫[0→2π]dθ∫[0→2] r³ dr =(1/2)(2π)(1/4)r⁴ |[0→2] =4π再算∫∫(z²+x)dydz，將曲面以yoz面為分界線，分為兩部分，前部分叫Σ1，后一部分叫Σ2 先計算Σ1上積分，前側取正，曲面方程為：x=√(2z-y²)，積分區(qū)域由z=(1/2)y²與z=2所圍 ∫∫(z²+x)dydz =∫∫(z²+√(2z-y²))dydz 先積z =∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²+√(2z-y²))dz =∫[-2→2] [(1/3)z³+(1/2)(2/3)(2z-y²)^(3/2)|[(1/2)y²→2] dy =∫[-2→2] [-(1/24)y⁶+8/3+(1/3)(4-y²)^(3/2)] dy =64/7+2π先計算Σ2上積分，后側取負，曲面方程為：x=-√(2z-y²)，積分區(qū)域由z=(1/2)y²與z=2所圍 ∫∫(z²+x)dydz =-∫∫(z²-√(2z-y²))dydz =-∫[-2→2]dy∫[(1/2)y²→2](z²-√(2z-y²))dz =-64/7+2π綜上最后結果為：4π+(64/7+2π)+(-64/7+2π)=8π真的沒必要會這種方法，太麻煩了。