(1) 因?yàn)锳是m×n矩陣,
所以A^H 是n×m矩陣,A^HA 是n×n矩陣,
而且(A^HA)^H = A^H(A^H)^H = A^HA.
又因?yàn)閷?duì)于任意的n維非零列向量a,有
a^H(A^HA)a = (Aa)^H(Aa) = ||Aa||^2 大于或等于 0,
因此A^HA是半正定埃爾米特矩陣.
(2) 因?yàn)锳是m×n矩陣,
所以A^H 是n×m矩陣,AA^H 是m×m矩陣,
而且(AA^H)^H = (A^H)^HA^H = AA^H.
又因?yàn)閷?duì)于任意的m維非零列向量b,有
b^H(AA^H)b = (A^Hb)^H(A^Hb) = ||A^Hb||^2 大于或等于 0,
因此AA^H是半正定埃爾米特矩陣.