已知直線y=ax+1與雙曲線3x^2-y^2=1相交于兩點(diǎn)A、B,問是否存在實(shí)數(shù)a,使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=3x對稱

數(shù)學(xué)人氣：948 ℃時間：2020-02-03 23:57:46

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
因?yàn)锳、B關(guān)于y=3x對稱,則y=3x為線段AB的垂直平分線
則A、B所在直線也就是y=ax+1與y=3x垂直,所以a=-1/3
且線段AB中點(diǎn)在y=3x上,即3(x1+x2)=(y1+y2),
因?yàn)?y1+y2)=ax1+ax2+2=-1/3(x1+x2)+2,所以3(x1+x2)=-1/3(x1+x2)+2
所以 x1+x2=3/5
聯(lián)立直線與雙曲線方程得(3－a^2)x^2－2ax－2＝0
得x1+x2=2a/(3-a^2)=-3/13
與上面所得x1+x2的值矛盾
因此不存在這樣的a使命題成立.