（1）證明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2﹚當(dāng)△ABC是以BC為斜邊的直角三角形時，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數(shù)根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB?AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB?AC=25
∴（2k+3）²-2?（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k₂=-5舍去
∴k=2；
（3）∵△ABC是等腰三角形；
∴當(dāng)AB=AC時，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
當(dāng)AB=BC時，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周長為14或16．