你可以自己查書,看書上的證法,下面我給你一個(gè)與書上不同的輔助函數(shù)構(gòu)造法.
設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù),(a,b)可導(dǎo),求證：存在ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a).
證：構(gòu)造F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)
顯然F(x)在[a,b]連續(xù),(a,b)可導(dǎo)
F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=af(b)-bf(a)
F(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=af(b)-bf(a)
則F(a)=F(b)
因此,由羅爾定理,存在ξ∈(a,b),使F'(ξ)=0
由F'(x)=[f(b)-f(a)]-f '(x)(b-a),則 [f(b)-f(a)]-f '(ξ)(b-a)=0
即 f(b)-f(a)=f '(ξ)(b-a)