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  • 已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的離心率為√6/3,橢圓C上任何一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為6

    已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的離心率為√6/3,橢圓C上任何一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為6
    (1)求橢圓C的方程.
    (2)設(shè)直線l:y=kx-2與橢圓C交于A、B兩點,點p(0,1),且︱PA︱=︱PB︱,求直線l的方程
    數(shù)學(xué)人氣:415 ℃時間:2019-10-19 04:30:09
    優(yōu)質(zhì)解答
    (1)2a=6,得a=3
    e=c/a=√6/3=c/3
    解得c=√6=√(a^2-b^2)=√(9-b^2)
    b=√3
    故橢圓方程為:
    x^2/9+y^2/3=1
    (2)將y=kx-2代入橢圓方程得
    x^2+3(k^2x^2-4kx+4)-9=0
    (3k^2+1)x^2-12kx+3=0 ①
    設(shè)A(x1,kx1-2),B(x2,kx2-2)
    依韋達(dá)定理得
    x1+x2=12k/(3k^2+1) ②
    x1x2=3/(3k^2+1)
    ︱PA︱=︱PB︱得
    (x1-0)^2+(kx1-2-1)^2=(x2-0)^2+(kx2-2-1)^2
    (x1-x2)*[(k^2+1)(x1+x2)-6k]=0
    因直線y=kx-2不包括直線x=0,所以x1≠x2,故
    (k^2+1)(x1+x2)-6k=0
    12k(k^2+1)/(3k^2+1)=6k
    解得k^2=1或k=0
    而k=0時方程①變?yōu)閤^2+3=0.無解.所以k=±1
    直線l的方程為:
    y=x-2或y=-x-2
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