如圖1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°，
設(shè)AS=x，
在Rt△ASR中，
∵RS⊥AB，
∴∠ASR=90°，
∴∠ARS=30°，
∴AR=2AS=2x，
∴RC=1-AR=1-2x，
在Rt△QCR中，
∵QC=2RC=2-4x，
∴BQ=4x-1，
在Rt△BPQ中，BP=2BQ=8x-2，
∵AB=1，
∴AS+PS+BP=1，即x+

1

5

+8x-2=1，解得x=

14

45

，
∴AP=AS+PS=

14

45

+

1

5

=

23

45

；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)S的上方時(shí)，
同上可得，AS+BP-PS=1，即x+8x-2-

1

5

=1，解得x=

16

45

，
∴AP=AS-PS=

16

45

-

1

5

=

7

45

．
故答案為：

7

45

或

23

45

．