證明:先證明模4余1的素數(shù)p可以表示為兩個正整數(shù)的平方和記p=4k+1由wilson定理,利用p-i≡-i(modp),i=1,2,...,2k,易知((2k)!)^2≡-1(modp)令e=(2k)!,則e^2≡-1(modp)考慮所有型如ex+y的數(shù),其中x,y為非負整數(shù),x,yp,所以必定有兩個這樣的數(shù)模p同余即存在非負整數(shù)a,b,c,db由(a-d)(a+d)=(c-b)(c+b)得a-d=AB,a+d=CD,c-b=AC,c+b=BD,其中A,B,C,D為正整數(shù)于是有2a=AB+CD,2b=BD-AC,2d=CD-AB,2c=BD+AC,所以4p=(AB+CD)^2+(BD-AC)^2=(A^2+D^2)(B^2+C^2)若A^2+D^2為4的倍數(shù),由于A^2+D^2≠4,得p=(B^2+C^2)*(A^2+D^2)/4為合數(shù),矛盾若B^2+C^2為4的倍數(shù),同理可得矛盾若A^2+D^2,B^2+C^2都不是4的倍數(shù),則它們均是2的倍數(shù)于是p=[(A^2+D^2)/2]*[(B^2+C^2)/2]因為p為素數(shù),所以(A^2+D^2)/2,(B^2+C^2)/2必定有個為1不妨設(A^2+D^2)/2=1,則A=D=1,從而a=c=(B+C)/2,也矛盾