n^9- n^3=n^3(n^6- 1)=n^3(n^3-1)(n^3+1)……（1）式
1、 當n是偶數(shù)時,n^3 能被8整除,(1)式能被8整除.
當n是奇數(shù)時,(n^3-1) 和 (n^3+1) 是兩個相鄰的偶數(shù),其中一個必能被4整除,即(n^3-1) (n^3+1) 能被8整除,(1)式能被8整除.
因此對于任意整數(shù)n,(1)式均能被8整除.
2、 當n能被7整除時,n^3 能被7整除,(1)式能被7整除.
設(shè)n=7k+1時,n^3-1=(7k+1)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2+3×(7k)+1-1＝(7k)^3+3×(7k)^2+3×(7k)能被7整除.
設(shè)n=7k+2時,n^3-1=(7k+2)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×2+3×(7k)×4+8-1＝(7k)^3+6×(7k)^2+12×(7k)+7能被7整除.
設(shè)n=7k+4時,n^3-1=(7k+4)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^4×2+3×(7k)×16+64-1＝(7k)^3+12×(7k)^2+48×(7k)+63能被7整除.
當n除以7余1,2,4時,n^3-1能被7整除,(1)式能被7整除.
設(shè)n=7k+3時,n^3+1=(7k+3)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×3+3×(7k)×9+27+1＝(7k)^3+9×(7k)^2+27×(7k)+28能被7整除.
設(shè)n=7k+5時,n^3+1=(7k+5)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×5+3×(7k)×25+125+1＝(7k)^3+15×(7k)^2+75×(7k)+126能被7整除.
設(shè)n=7k+6時,n^3+1=(7k+6)^3-1=(7k)^3+3×(7k)^2×6+3×(7k)×36+216+1＝(7k)^3+18×(7k)^2+108×(7k)+217能被7整除.
當n除以7余3,5,6時,n^3+1能被7整除,(1)式能被7整除.
因此對于任意整數(shù)n,(1)式均能被7整除.
3、 以此類推,
當n除以9余0,3,6時,n^3能被9整除,(1)式能被9整除.
當n除以9余1,4,7時,n^3-1能被9整除,(1)式能被9整除.
當n除以9余2,5,8時,n^3+1能被9整除,(1)式能被9整除.
因此對于任意整數(shù)n,(1)式均能被9整除.
4、 因此對于任意整數(shù)n,(1)式均能被7、8、9整除.
因為7,8,9沒有公約數(shù),7×8×9＝504
所以n^9- n^3可被504整除