A,B是拋物線y^2=2px(p>0)上的兩點,滿足向量OA與向量OB的積為0,求直線AB過定點

數(shù)學人氣：296 ℃時間：2020-03-23 01:48:57

優(yōu)質(zhì)解答

設點A,B（x1,y1）,（x2,y2）
（I）當直線l有存在斜率時,設y=kx+b,k≠0且b≠0．
聯(lián)立方程得：y=kx+b,y2=2px
k2x2+（2kb-2p）x+b2=0
x1x2=b2/k2,y1y2=（kx1+b）（kx2+b）= 2pb/k
又由OA⊥OB
x1x2+y1y2=0,
b2/k2+2pb/k=0,
b=0（舍去）或b=-2pk
y=kx-2pk=k（x-2p）,
故直線過定點（2p,0）
（II）當直線l不存在斜率時,設x=m,m＞0
聯(lián)立方程得：x=m,y2=2x
y=±√2m,
y1y2=-2m
又由OA⊥OB
x1x2+y1y2=0,
即m2-2m=0,
m=0（舍去）或m=2
x=2,故直線過定點（2,0）
綜合（1）（2）可知,滿足條件的直線過定點（2,0）．