通常為了求出遞推數(shù)列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全為0的常數(shù),c、e不同時(shí)為0】的通項(xiàng),我們可以采用不動(dòng)點(diǎn)法來解.假如數(shù)列{a[n]}滿足a[n+1]=f(a[n]),我們就稱x=f(x)為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)方程,其根稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn).至于為什么用不動(dòng)點(diǎn)法可以解得遞推數(shù)列的通項(xiàng),這足可以寫一本書.但大致的理解可以這樣認(rèn)為,當(dāng)n趨于無窮時(shí),如果數(shù)列{a[n]}存在極限,a[n]和a[n+1]是沒有區(qū)別的.
首先,要注意,并不是所有的遞推數(shù)列都有對(duì)應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不動(dòng)點(diǎn)有相異不動(dòng)點(diǎn)和重合不動(dòng)點(diǎn).
下面結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)的各種方法看幾個(gè)具體的例子吧.
例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通項(xiàng).
【說明：這題是“相異不動(dòng)點(diǎn)”的例子.】
先求不動(dòng)點(diǎn)
∵a[n+1]=2/(a[n]+1)
∴令 x=2/(x+1),解得不動(dòng)點(diǎn)為：x=1 和 x=-2 【相異不動(dòng)點(diǎn)】
∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2)【使用不動(dòng)點(diǎn)】
=(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)
=(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)
=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)
=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)
∵a[1]=2
∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4
∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首項(xiàng)為1/4,公比為-1/2的等比數(shù)列
∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)
解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2
例2：已知數(shù)列{a[n]}滿足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通項(xiàng).
【說明：這題是“重合不動(dòng)點(diǎn)”的例子.“重合不動(dòng)點(diǎn)”往往采用取倒數(shù)的方法.】
∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴采用不動(dòng)點(diǎn)法,令：x=2-1/x
即：x^2-2x+1=0
∴x=1 【重合不動(dòng)點(diǎn)】
∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1【使用不動(dòng)點(diǎn)】
a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]
兩邊取倒數(shù),得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)
即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1
∵a[1]=3
∴{1/(a[n]-1)}是首項(xiàng)為1/(a[1]-1)=1/2,公差為1的等差數(shù)列
即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2
∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)
例3：已知數(shù)列{a[n]}滿足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通項(xiàng).
【說明：上面兩個(gè)例子中獲得的不動(dòng)點(diǎn)方程系數(shù)都是常數(shù),現(xiàn)在看個(gè)不動(dòng)點(diǎn)方程系數(shù)包含n的例子.】
∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)
∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n
將上面兩式相減,得：
a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)
(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n
(n+2)a[n+1]=na[n]+2
a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2)【1】
采用不動(dòng)點(diǎn)法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)
解得：x=1【重合不動(dòng)點(diǎn)】
設(shè)：a[n]-1=b[n],則：a[n]=b[n]+1【使用不動(dòng)點(diǎn)】
代入【1】式,得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2)
b[n+1]=b[n]n/(n+2)
即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)
于是：【由于右邊隔行約分,多寫幾行看得清楚點(diǎn)】
b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1)【這里保留分母】
b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n【這里保留分母】
b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)
b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2)
.
b[5]/b[4]=4/6
b[4]/b[3]=3/5
b[3]/b[2]=2/4【這里保留分子】
b[2]/b[1]=1/3【這里保留分子】
將上述各項(xiàng)左右各自累乘,得：
b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]
∵a[1]=1/2
∴b[1]=a[1]-1=-1/2
∴b[n]=-1/[n(n+1)]
∴通項(xiàng)a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]
例4：已知數(shù)列{a[n]}滿足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通項(xiàng).
【說明：這個(gè)例子說明有些題目可以采用不動(dòng)點(diǎn)法,也可以采用其他解法.】
∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
求不動(dòng)點(diǎn)：x=(2x+1)/3,得：x=1【重合不動(dòng)點(diǎn)】
∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1【使用不動(dòng)點(diǎn)】
即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
∴{a[n]-1}是首項(xiàng)為a[1]-1=1,公比為2/3的等比數(shù)列
即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)
∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)
【又】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3
∴3a[n+1]=2a[n]+1
這時(shí)也可以用待定系數(shù)法,甚至直接用觀察法,即可得到：
3a[n+1]-3=2a[n]-2
∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)
【下面同上】
例5：已知數(shù)列{x[n]}滿足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通項(xiàng).
【說明：現(xiàn)在舉個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是無理數(shù)的例子,其中還要采用對(duì)數(shù)的方法.】
∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])
∴采用不動(dòng)點(diǎn)法,設(shè)：y=(y^2+2)/(2y)
y^2=2
解得不動(dòng)點(diǎn)是：y=±√2 【相異不動(dòng)點(diǎn)為無理數(shù)】
∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)【使用不動(dòng)點(diǎn)】
={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}
=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)
={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2
∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2
∴l(xiāng)n{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)} 【取對(duì)數(shù)】
∵x[1]=2>√2
∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2
∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首項(xiàng)為ln(3-2√2),公比為2的等比數(shù)列
即：ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)
(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]
x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)
x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2
∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}
例6：已知數(shù)列{a[n]}滿足a[1]=2,a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n]),求通項(xiàng).
【說明：現(xiàn)在舉個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是虛數(shù)的例子,說明有些題目可以采用不動(dòng)點(diǎn)法,但采用其他解法可能更方便.】
求不動(dòng)點(diǎn)：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：
x[1]=i,x[2]=-i 【相異不動(dòng)點(diǎn)為虛數(shù),i為虛數(shù)單位】
∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i) 【使用不動(dòng)點(diǎn)】
={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}
=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)
={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}
=i(a[n]-i)/(a[n]+i)
∵a[1]=2
∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首項(xiàng)為(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比為i的等比數(shù)列
即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)
(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)
2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1)
{2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)
a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]
∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]
【下面用“三角代換”,看看是否更巧妙一些.】
∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])
∴令a[n]=tanθ,則a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tanθ]=tan(π/4+θ)
∵θ=arctan(a[n]),π/4+θ=arctan(a[n+1])
∴上面兩式相減,得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4
∵a[1]=2
∴{arctan(a[n])}是首項(xiàng)為arctan(a[1])=arctan2,公差為π/4的等差數(shù)列
即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4
∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]