n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多種,這里就介紹一個(gè)我覺(jué)得很好玩的做法
想像一個(gè)有圓圈構(gòu)成的正三角形,
第一行1個(gè)圈,圈內(nèi)的數(shù)字為1
第二行2個(gè)圈,圈內(nèi)的數(shù)字都為2,
以此類(lèi)推
第n行n個(gè)圈,圈內(nèi)的數(shù)字都為n,
我們要求的平方和,就轉(zhuǎn)化為了求這個(gè)三角形所有圈內(nèi)數(shù)字的和.設(shè)這個(gè)數(shù)為r
下面將這個(gè)三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度,得到第二個(gè)三角形
再將第二個(gè)三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度,得到第三個(gè)三角形
然后,將這三個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的圓圈內(nèi)的數(shù)字相加,
我們神奇的發(fā)現(xiàn)所有圈內(nèi)的數(shù)字都變成了2n+1
而總共有幾個(gè)圈呢,這是一個(gè)簡(jiǎn)單的等差數(shù)列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6
這個(gè)方法很好玩吧,看到過(guò)嗎?