在銳角△ABC中,已知∠B=60°.且根號(1+cos2A)(1+cos2c)=(根號3-1)/2,求∠A,∠C的值

數(shù)學人氣：496 ℃時間：2019-08-18 05:53:56

優(yōu)質(zhì)解答

A+C=180°-B=120°;即cos(A+C)=-1/2.
(1+cos2A)(1+cos2c)=(2cos^2 A)·(2cos^2 C),
則√(1+cos2A)(1+cos2c)=2·cosA·cosC.
即
cosA·cosC=(√3-1)/4.
則
cos(A+C)=cosA·cosC-sinA·sinC=(√3-1)/4-sinA·sinC=-1/2.
則sinA·sinC=(√3+1)/4.
則:
cos(A-C)=cosA·cosC+sinA·sinC=(√3-1)/4 + (√3+1)/4
=√3/2.
即|A-C|=30°.
不妨設A＞C,
則A-C=30°
與A+C=120°聯(lián)立解得
A=75°;C=45°.
若A＜C,也一樣;因為這里A與C是等位的.
即A=45°;C=75°