線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支.我們知道一次方程叫做線性方程,討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù).在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣.行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意 , 而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章.向量的概念 , 從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合 , 然而它以力或速度作為直接的物理意義 , 并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出 物理上所說的事情.向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有說服力.同樣 , 行列式和矩陣如導(dǎo)數(shù)一樣（雖然 dy/dx 在數(shù)學(xué)上不過是一個符號 , 表示包括△y/△x的極限的長式子 , 但導(dǎo)數(shù)本身是一個強(qiáng)有力的概念 , 能使我們直接而創(chuàng)造性地想象物理上發(fā)生的事情）.因此,雖然表面上看,行列式和矩陣不過是一種語言或速記,但它的大多數(shù)生動的概念能對新的思想領(lǐng)域提供鑰匙.然而已經(jīng)證明這兩個概念是數(shù)學(xué)物理上高度有用的工具.
線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的. 行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的,他在 1683 年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作,意思是 “ 解行列式問題的方法 ” ,書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述.歐洲第一個提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家, 微積分學(xué)奠基人之一 萊布 尼 茲 （ Leibnitz , 1693 年） . 1750 年 克萊姆（ Cramer ） 在他的《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的 Cramer 克萊姆法則）. 1764 年 , Bezout 把確定行列式每一項的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了.對給定了含 n 個未知量的 n 個齊次線性方程 , Bezout 證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件. Vandermonde 是第一個對行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述 ( 即把行列 ' 式理論與線性方程組求解相分離 ) 的人.并且給出了一條法則,用二階子式和它們的余子式來展開行列式.就對行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而言,他是這門理論的奠基人. Laplace 在 1772 年的論文《對積分和世界體系的探討》中 , 證明了 Vandermonde 的一些規(guī)則 , 并推廣了他的展開行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式,這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名. 德國數(shù)學(xué)家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論.另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家 柯西 (Cauchy) ,他大大發(fā)展了行列式的理論,在行列式的記號中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法,與此同時發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了 laplace 的展開定理.相對而言,最早利用矩陣概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的雙線性型工作中體現(xiàn)的.拉格朗日期望了解多元函數(shù)的最大、最小值問題,其方法就是人們知道的拉格朗日迭代法.為了完成這些,他首先需要一階偏導(dǎo)數(shù)為 0 ,另外還要有二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的條件.這個條件就是今天所謂的正、負(fù)的定義.盡管拉格朗日沒有明確地提出利用矩陣.
高斯（ Gauss ） 大約在 1800 年提出了高斯消元法并用它解決了天體計算和后來的地球表面測量計算中的最小二乘法問題.（這種涉及測量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測地學(xué).）雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名,但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運(yùn)用“高斯”消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統(tǒng).在當(dāng)時的幾年里,高斯消去法一直被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分,而不是數(shù)學(xué).而高斯 - 約當(dāng)消去法則最初是出現(xiàn)在由 Wilhelm Jordan 撰寫的測地學(xué)手冊中.許多人把著名的數(shù)學(xué)家 Camille Jordan 誤認(rèn)為是“高斯 - 約當(dāng)”消去法中的約當(dāng).
矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展,人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義.二者要在大約同一時間和同一地點(diǎn)相遇. 1848 年英格蘭的 J.J. Sylvester 首先提出了矩陣這個詞,它來源于拉丁語,代表一排數(shù). 1855 年矩陣代數(shù)得到了 Arthur Cayley 的工作培育. Cayley 研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義,使得復(fù)合變換 ST 的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃?S 和矩陣 T 的乘積.他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題.著名的 Cayley- Hamilton 理論即斷言一個矩陣的平方就是它的特征多項式的根,就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩陣?yán)碚撐募刑岢龅?利用單一的字母 A 來表示矩陣是對矩陣代數(shù)發(fā)展至關(guān)重要的.在發(fā)展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 為矩陣代數(shù)和行列式間提供了一種聯(lián)系. 數(shù)學(xué)家 Cauchy 首先給出了特征方程的術(shù)語,并證明了階數(shù)超過 3 的矩陣有特征值及任意階實對稱行列式都有實特征值；給出了相似矩陣的概念,并證明了相似矩陣有相同的特征值；研究了代換理論,
數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù),但在任意維數(shù)中并沒有兩個向量乘積的自然定義.第一個涉及一個不可交換向量積（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代數(shù)是由 Hermann Grassmann 在他的《線性擴(kuò)張論》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 書中提出的. (1844) .他的觀點(diǎn)還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中,結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為 1 的矩陣,或簡單矩陣.在 19 世紀(jì)末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家 Willard Gibbs 發(fā)表了關(guān)于《向量分析基礎(chǔ)》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名論述.其后物理學(xué)家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量.我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在 20 世紀(jì)由物理學(xué)家給出的.
矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的.到 19 世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間.現(xiàn)代向量空間的定義是由 Peano 于 1888 年提出的.二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機(jī)的發(fā)展,矩陣又有了新的含義,特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面. 由于計算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用,許多實際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決.于是作為處理離散問題的線性代數(shù),成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).