令a=(A1,A2,.,An),b=((A1,.,As),要證明a=b,可先證明b能整除a,然后再證明a也能整除b,于是a=b
令(As+1,.,An)),c=(A1,.,As),d=(As+1,.,An),則b=(c,d)
由于a是A1,A2,.,An最大公約數(shù),A1,A2,.,An每一項(xiàng)是a的倍數(shù),故c、d都能被a整除,
于是b能被a整除.
由于b是c、d的最大公約數(shù),故c、d都是b的倍數(shù).
由于c是A1,.,As的最大公約數(shù),故A1,.,As每一項(xiàng)都能被c整除,于是也就都能被b整除
同理As+1,.,An每一項(xiàng)也都能被b整除
從而A1,A2,.,An每一項(xiàng)都能被b整除,所以b必然是A1,A2,.,An最大公約數(shù)的一個(gè)因子
于是a能被b整除.
從而a=b