（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

∴|

a

|=

x2+(y+2)2

，|

b

|=

x2+(y?2)2

設F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2），動點M（x，y），可得|

a

|、|

b

|分別表示點M到F₁、F₂的距離．
∵|

a

|+|

b

|=8，即M到F₁、F₂的距離之和等于8，
∴點M（x，y）的軌跡C是以F₁（0，-2），F(xiàn)₂（0，2）為焦點，長軸長為8的橢圓，
可得a=4，c=2，b²=a²-c²=12，
可得橢圓方程為

y2

16

+

x2

12

＝1，即為點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）由于直線l過點（0，3），故
①當直線l為y軸時，A、B為橢圓的頂點，可得

OP

=

OA

+

OB

=

0

此時點P與原點重合，不符合題意；
②當直線l與x軸不垂直時，設方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y＝kx+3 y2 16 + x2 12 ＝1

消去y，得（4+3k²）x²+18kx-21=0
此時△=（18k）²-4（4+3k²）?（-21）=576k²+336＞0恒成立
x₁+x₂=

?18k

4+3k2

，代入直線得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+12=

24

4+3k2

∵

OP

=

OA

+

OB

，∴四邊形OAPB是平行四邊形，
若四邊形OAPB是菱形，則|

OA

|=|

OB

|
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）
∴x12+y12=x22+y22，化簡得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
 可得l的斜率k=

y1?y2

x1?x2

=-

x1+x2

y1+y2

=-

?18k 4+3k2

24 4+3k2

=-

3k

4

解之得k=0，因此存在直線y=3，使得四邊形OAPB為菱形．