設(shè)f：A→B,g：BA,f•g=IA (此處A為下角標(biāo)),證明：f是單射,g是滿射

其他人氣：863 ℃時(shí)間：2020-04-30 09:45:01

優(yōu)質(zhì)解答

題目應(yīng)該是：
設(shè)有兩個(gè)映射f:A→B,g:B→A.若g*f=IA ,則f是單射,g是滿射.
證明
(1)證明映射f是單射.
對(duì)任意的b∈B,如果存在a1,a2∈A（a1!=a2）,使g(a1)=b,g(a2)=b,即g(a1)=b= g(a2).
因?yàn)?a1=IA(a1)=(g*f)(a1)= f(g(a1)) = f(g(a2)) =(g*f)(a2) =IA(a2)= a2 .
所以f是單射的.
(2)證明映射g是滿射.
因?yàn)?g*f)(A)=IA(A)= A,所以g*f是滿射的.
又對(duì)任意的c∈A,由g*f是滿射的可知,存在a∈A,使(g*f)(a)=c.
那么存在b∈B,使f(a) = b,g(b) = c.
所以存在b∈B,使g(b) = c,
所以g是滿射的.