映射f:X→Y的定義是：對任意的x屬于X,在Y中有唯一的y使得y=f(x).下面通過反證法,假設(shè)f不是單射,g不是滿射,可以推出與定義矛盾.先來看f,由于f不是單射,所以存在x1,x2屬于X,使得雖然x1≠x2,但是有y0=f(x1)=f(x2)屬于Y,這樣g[f(x1)]=g[f(x2)]=g(y0)=x1=x2,這樣Y中的一個元素y0在映射g下的像不是唯一的,與映射的定義矛盾.再來看g,由于g不是滿射,所以存在x0屬于X,使得x0在映射g下沒有原像,即不存在y0屬于Y,使得g(y0)=x0=g[f(x0)],也就是不存在y0使得f(x0)=y0,這樣X中的一個元素x0在映射f下不存在像,與映射的定義矛盾.這兩個矛盾也就說明兩個假設(shè)都不成立,即f一定是單射,g一定是滿射.