我數(shù)學(xué)系,這多年基本沒見過"矩陣的正交補(bǔ)"的概念.只見過"空間的正交補(bǔ)"概念.
但是你這題,很好證明,而且最小二乘法中有類似的證明,可以給你講下思路.
第一個空間:共軛轉(zhuǎn)置我們記作*,那么核子空間就是A*x=0的解空間.
第二個空間:我們設(shè)矩陣A的正交補(bǔ)為B,那么它的像空間,就是任意n維列向量x,Bx全體組成的空間.
接下來證明任意元素屬于第二個空間一定屬于第一個空間.
第二個空間里的元素都可以用Bx表示,那么A*(Bx)=0,這是由正交補(bǔ)的概念得到的(A*B=0),這說明Bx屬于第一個空間.
再證明第一個空間中的元素都屬于第二個空間
將第二個像空間{Bx}看成是,由B的列向量作為基底張成的空間,那么他就是B的列向量的線性組合.
我們由正交補(bǔ)的定義知道A*B=0,r(B)=n-r(A)
任意x使得A*x=0,都是B的列向量的線性組合,故x屬于第二個空間.
這是證明思路,但是我說了矩陣的正交補(bǔ)的概念一般沒有,你這題有問題,回去再看看原題吧