【解】
△AFG與△BFG的底分別是AF與BF,高相同,所以二者的面積比
S△AFG/S△BFG= AF/BF,
S△AFG = AF/BF •S△BFG.
△AFC與△BFC的底分別是AF與BF,高相同,所以二者的面積比
S△AFC/S△BFC= AF/BF,
S△AFC= AF/BF• S△BFC.
所以S△AFC- S△AFG = AF/BF• S△BFC- AF/BF •S△BFG,
即S△AGC= AF/BF•S△BGC.
S△AGC/ S△BGC= AF/BF.
同理
S△AGB/ S△AGC= BD/DC.
S△BGC/ S△BGA= CE/EA.
所以
AF/BF •BD/DC• CE/EA= S△AGC/ S△BGC• S△AGB/ S△AGC •S△BGC/ S△BGA
=1,
即λμν=1.
下面是一道類(lèi)似的題目,供參考：
點(diǎn)O 是△ABC中一點(diǎn),AD,BE,CF過(guò)點(diǎn)O 分別交BC、CA、AB交點(diǎn)D,E,F,求證：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1.
【證明】
作AM⊥BC,ON⊥BC,垂足分別為M、N
則S△BOC/S△ABC
＝(BC*ON/2)/(BC*AM/2)
＝ON/AM
因?yàn)锳M⊥BC,ON⊥BC
所以O(shè)N‖AM
所以O(shè)D/AD＝ON/AM
所以O(shè)D/AD＝S△BOC/S△ABC
同理可證
OE/BE＝S△AOC/S△ABC
OF/CF＝S△AOB/S△ABC
所以O(shè)D/AD+OE/BE+OF/CF
＝S△BOC/S△ABC＋S△AOC/S△ABC＋S△AOB/S△ABC
＝(S△BOC＋S△AOC＋S△AOB)/S△ABC
＝S△ABC/S△ABC
＝1.