該題你沒能表達(dá)清楚,本題的意思應(yīng)該是:
證明任一個(gè)群G不能是兩個(gè)不等于G的子群的并集.
如果是這樣我給你提供一個(gè)證明,用反證法,
設(shè)H1,H2均是G的子群,如果H1U H2=G,顯然H1,H2互相不包含,否則有H1UH2=H1,或H1UH2=H2,H1=H1U H2=G,或H2=H1U H2=G,這與H1,H2均與G不等矛盾.
由H1,H2互相不包含,因此可取屬于H1但不屬于H2的元素x,屬于H2但不屬于H1的元素y,下面證明x*y(*是群中的運(yùn)算)既不在H1中,也不在H2中,如果x*y在H1中,由x在H1中可知x的逆x^-1也在H1中,故x^-1*(x*y)=y也在H1中,這與上面的y不屬于H1的假設(shè)矛盾,因此x*y不在H1中,同理也可證x*y不在H2中,而x*y是G的元素,這與H1U H2=G矛盾.