由A是m階正定矩陣,A的m個(gè)特征值都是正實(shí)數(shù),設(shè)為λ1,λ2,...,λm.
通過相似對角化,不難證明:I
1) I+xA的特征值為1+λ1·x,1+λ2·x,...,1+λm·x;
2) A(I+xA)^(-1)的特征值為λ1/(1+λ1·x),λ2/(1+λ2·x),...,λm/(1+λm·x).
故det(I+xA) = (1+λ1·x)(1+λ2·x)...(1+λm·x),
而tr(A(I+xA)^(-1)) = λ1/(1+λ1·x)+λ2/(1+λ2·x)+...+λm/(1+λm·x).
于是(ln(det(I+xA)))' = (ln((1+λ1·x)(1+λ2·x)...(1+λm·x)))'
= (ln(1+λ1·x))'+(ln(1+λ2·x))'+...+(ln(1+λm·x))'
= λ1/(1+λ1·x)+λ2/(1+λ2·x)+...+λm/(1+λm·x)
= tr(A(I+xA)^(-1)).
結(jié)果還可以變形,比如:
tr(A(I+xA)^(-1))
= tr(xA(I+xA)^(-1))/x
= (tr((I+xA)(I+xA)^(-1))-tr((I+xA)^(-1)))/x
= (m-tr((I+xA)^(-1)))/x.
再比如用伴隨矩陣表示逆矩陣:(I+xA)^(-1) = (1+xA)*/det(I+xA).
具體看你的需要了.