1、
AX=2X+A
故(A-2E)X=A,
那么X=(A-2E)^(-1) A
用初等行變換來(lái)求(A-2E)^(-1)
而
(A-2E,E)=
1 01 1 0 0
0 1 -1 0 1 0
-2 01 0 0 1 第3行加上第1行乘以2
～
1 01 1 0 0
0 1 -1 0 1 0
0 03 2 0 1第3行除以3,第1行減去第3行,第2行加上第3行
～
1 0 0 1/3 0 -1/3
0 1 0 2/3 11/3
0 0 1 2/3 01/3
所以(A-2E)^(-1)=
1/3 0 -1/3
2/3 11/3
2/3 01/3
那么
X=(A-2E)^(-1) A=
5/3 0 -2/3
4/3 32/3
4/3 05/3
2、
設(shè)此矩陣A的特征值為λ
則
|A-λE|=
4-λ00
03-λ 1
0 1 3-λ
=(4-λ)(λ^2-6λ+8)=0
解得λ=2或4
當(dāng)λ=2時(shí),
A-2E=
2 0 0
0 1 1
0 1 1 第1行除以2,第3行減去第2行
～
1 0 0
0 1 1
0 0 0
得到特征向量為(0,1,-1)^T
當(dāng)λ=4時(shí),
A-4E=
000
0 -11
01 -1 第2行加上第3行
～
0 00
0 00
0 1 -1
得到特征向量為(0,1,1)^T和(1,0,0)^T
所以正交矩陣P為
0 0 1
1 1 0
-1 1 0