拋物線y^2=2px 焦點(diǎn)為F(p/2,0)
設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a,則其高為h=√3/2*a
由正三角形對(duì)稱性可知,其過(guò)焦點(diǎn)的高在x軸上,且其對(duì)應(yīng)底邊與x軸垂直,則邊長(zhǎng)為此邊與拋物線兩交點(diǎn)的距離
∴底邊與x軸的交點(diǎn)為(p/2-√3/2*a,0)
代入拋物線方程得,y^2=2p(p/2-√3/2*a),即y^2-2p(p/2-√3/2*a)=0
對(duì)此方程,y1+y2=0,y1y2=-2p(p/2-√3/2*a)
∴a=|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=√[4*2p(p/2-√3/2*a)]
∴a^2=8p(p/2-√3/2*a)
解得a=(4-2√3)p (負(fù)根舍棄)
∴ 正三角形邊長(zhǎng)為(4-2√3)p