是阿貝爾
阿貝爾與橢圓函數(shù)
橢圓函數(shù)是從橢圓積分來的.早在18世紀,從研究物理、天文、幾何學的許多問題中經(jīng)常導出一些不能用初等函數(shù)表示的積分,這些積分與計算橢圓弧長的積分往往具有某種形式上的共同性,橢圓積分就是如此得名的.19世紀初,橢圓積分方面的權(quán)威是法國科學院的耆宿、德高望重的勒讓得（A.M.Legen-dre,1752－1833）.他研究這個題材長達40年之久,他從前輩工作中引出許多新的推斷,組織了許多常規(guī)的數(shù)學論題,但他并沒有增進任何基本思想,他把這項研究引到了“山重水復疑無路”的境地.也正是阿貝爾,使勒讓得在這方面所研究的一切黯然失色,開拓了“柳暗花明”的前途.
關(guān)鍵來自一個簡單的類比.微積分中有一條眾所周知的公式上式左邊那個不定積分的反函數(shù)就是三角函數(shù).不難看出,橢圓積分與上述不定積分具有某種形式的對應性,因此,如果考慮橢圓積分的反函數(shù),則它就應與三角函數(shù)也具有某種形式的對應性.既然研究三角函數(shù)要比表示為不定積分的反三角函數(shù)容易得多,那么對應地研究橢圓積分的反函數(shù)（后來就稱為橢圓函數(shù)）不也應該比橢圓積分本身容易得多嗎?
“倒過來”,這一思想非常優(yōu)美,也的確非常簡單、平凡.但勒讓得苦苦思索40年,卻從來沒有想到過它.科學史上并不乏這樣的例證“優(yōu)美、簡單、深刻、富有成果的思想,需要的并不是知識和經(jīng)驗的單純積累,不是深思熟慮的推理,不是對研究題材的反復咀嚼,需要的是一種能夠穿透一切障礙深入問題根柢的非凡的洞察力,這大概就是人們所說的天才吧.“倒過來”的想法像閃電一樣照徹了這一題材的奧秘,憑借這一思想,阿貝爾高屋建瓴,勢如破竹地推進他的研究.他得出了橢圓函數(shù)的基本性質(zhì),找到了與三角函數(shù)中的π有相似作用的常數(shù)K,證明了橢圓函數(shù)的周期性.他建立了橢圓函數(shù)的加法定理,借助于這一定理,又將橢圓函數(shù)拓廣到整個復域,并因而發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)是雙周期的,這是別開生面的新發(fā)現(xiàn)；他進一步提出一種更普遍更困難類型的積分——阿貝爾積分,并獲得了這方面的一個關(guān)鍵性定理,即著名的阿貝爾基本定理,它是橢圓積分加法定理的一個很寬的推廣.至于阿貝爾積分的反演——阿貝爾函數(shù),則是不久后由黎曼（B.Riemann,1826－1866）首先提出并加以深入研究的.事實上,阿貝爾發(fā)現(xiàn)了一片廣袤的沃土,他個人不可能在短時間內(nèi)把這片沃土全部開墾完畢,用埃爾米特（Hermite）的話來說,阿貝爾留下的后繼工作,“夠數(shù)學家們忙上五百年”.阿貝爾把這些豐富的成果整理成一長篇論文《論一類極廣泛的超越函數(shù)的一般性質(zhì)》.此時他已經(jīng)把高斯置諸腦后,放棄了訪問哥延根的打算,而把希望寄托在法國的數(shù)學家身上.他婉辭了克雷勒勸其定居柏林的建議后,便啟程前往巴黎.在這世界最繁華的大都會里,薈萃著像柯西（A.L.Cauchy,1789－1857）、勒讓得、拉普拉斯P.S.LapLace,1749－1827）、傅立葉（I.Fourier,1768－1830）、泊松（S.D.Poisson,1781－1840）這樣一些久負盛名的數(shù)字巨擘,阿貝爾相信他將在那里找到知音.