高數(shù)冪級數(shù)問題,f（x）=（1+x）／（1-x）ˇ3展開成x的冪級數(shù)

數(shù)學(xué)人氣：462 ℃時(shí)間：2020-05-09 02:53:37

優(yōu)質(zhì)解答

f(x)＝(2-(1-x))/(1-x)^3＝2/(1-x)^3 - 1/(1-x)^2 ＝ (1/(1-x))''- (1/(1-x))'.
1/(1-x)=∑x^n,-1＜x＜1.
逐項(xiàng)求導(dǎo),得
1/(1-x)^2＝∑nx^(n-1)＝∑(n+1)x^n,-1＜x＜1.第一個(gè)冪級數(shù)的n從1開始,第二個(gè)的n從0開始.
2/(1-x)^3＝∑n(n+1)x^(n-1)＝∑(n+1)(n+2)x^n,-1＜x＜1.第一個(gè)冪級數(shù)的n從1開始,第二個(gè)的n從0開始.
所以,f(x)＝∑(n+1)(n+2)x^n - ∑(n+1)x^n＝∑(n+1)^2x^n,-1＜x＜1.其中的n從0開始.