因a、b、c為三角形三條邊,所以a、b、c為正數,
解方程X^2＋2ax＋b^2=0,得
x=[-2a+根號(4a*a-4b*b)]/2=-a+根號(a*a-b*b)
x=[-2a-根號(4a*a-4b*b)]/2=-[a+根號(a*a-b*b)]
同理,解方程x^2＋2cx－b^2=0,得
x=[-2c+根號(4c*c+4b*b)]/2=-c+根號(c*c+b*b)
x=[-2c-根號(4c*c+4b*b)]/2=-[c+根號(c*c+b*b)]
因方程X^2＋2ax＋b^2=0與x^2＋2cx－b^2=0有一個相同的根,所以只有
-a+根號(a*a-b*b)=-c+根號(c*c+b*b)
上方程移項得
c-a=根號(c*c+b*b)-根號(a*a-b*b）
兩邊平方,得
c*c+a*a-2a*c=c*c+b*b+a*a-b*b-2根號[(c*c+b*b)-(a*a-b*b)]
化簡得
a*c=根號(c*c+b*b)*(a*a-b*b)
兩邊再平方并化簡,得
a*a=b*b+c*c
根據勾股定理,可知此三角形為直角三角形.
用另一組相等的根列方程,結果與上相同.