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  • 有關(guān)于高三導(dǎo)數(shù)的一道題目

    有關(guān)于高三導(dǎo)數(shù)的一道題目
    已知e為自然對數(shù)的底數(shù),若對任意的x∈[1/e,1],總存在唯一的y∈[-1,1],使得lnx-x+1+a=y^(2)e^y成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
    A.[1/e,e] B(2/e,e]C(2/e,+∞ ) D(2/e,e+1/e)
    數(shù)學(xué)人氣:863 ℃時(shí)間:2020-04-21 18:59:24
    優(yōu)質(zhì)解答
    答:
    選B
    令f(x)=lnx-x+1+a,f'(x)=1/x-1,在[1/e,1]內(nèi)f'(x)≥0,所以單調(diào)增.
    f(1/e)=a-1/e,f(1)=a;
    令h(y)=y^(2)e^y,同理求導(dǎo)得在[-1,1]內(nèi)有最小值h(0)=0
    h(-1)=1/e,h(1)=e;
    要使得任意x∈[1/e,1]存在y∈[-1,1]值與之相等,則f(x)的最大值不能大于h(y)的最大值
    即f(1)≤e,所以a≤e;
    因?yàn)閔(y)在[-1,0]遞減,在(0,1]遞增,所以h(y)值域在(0,1/e]時(shí),有兩個(gè)y值與之對應(yīng).
    若只有唯一的y,則f(x)的最小值要比1/e大.所以f(1/e)>1/e,所以a>2/e
    所以a取值范圍為(2/e,e]
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