證明n維向量組a1,a2,…,an線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：任一n維向量a都可以由它們線性表示.

數(shù)學(xué)人氣：600 ℃時(shí)間：2020-01-31 20:27:06

優(yōu)質(zhì)解答

證明：充分性：若任一n維向量a都可以n維向量組a1,a2,…,an線性表示,
那么,特別地,n維單位坐標(biāo)向量組也都可以由它們線性表示,
又向量組a1,a2,…,an也可由n維單位坐標(biāo)向量線性表示,
所以,向量組a1,a2,…,an與n維單位坐標(biāo)向量組等價(jià),
而n維單位坐標(biāo)向量組是線性無(wú)關(guān)組,
從而向量組a1,a2,…,an也是線性無(wú)關(guān)組.
必要性若n維向量組a1,a2,…,an線性無(wú)關(guān),又任意n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān),
設(shè)a是任一n維向量,則向量組a,a1,a2,…,an線性相關(guān),
故a可以由a1,a2,…,an線性表示.不客氣