a1,a2,…an是一組n維向量,證明：它們線性無關(guān)的充分必要條件是任一n維向量組都可以由它們線性表示.

數(shù)學(xué)人氣：731 ℃時(shí)間：2020-04-01 13:12:06

優(yōu)質(zhì)解答

證明必要性
設(shè)a為任一n維向量
因?yàn)閍1 a2 …… an線性無關(guān)
而a1 a2  …… an a是n+1個(gè)n維向量
是線性相關(guān)的
所以a能由a1 a2  …… an線性表示
且表示式是唯一的
充分性 已知任一n維向量都可由a1 a2  …… an線性表示,
故單位坐標(biāo)向量組e1 e2  …… en能由a1 a2  …… an線性表示,
于是有n=R(e1 e2  …… en)≤R(a1 a2 ……  an)≤n
即R(a1 a2  …… an)=n
所以a1 a2  …… an線性無關(guān)