1,因為直線4x-3y+20=0過雙曲線C的一個焦點,于是可以求得雙曲線的焦點為（-5,0）所以有c=5,又直線4x-3y+20=0與雙曲線有且只有一個交點,所以必有雙曲線的其中一條漸近線方程為4x-3y=0于是有b/a=4/3,而a^2+b^2=c^2所以可以解得a=3,b=4,于是雙曲線方程為x^2/9-y^2/16=1
2,因為PF1垂直PF2,所以有|PF1|^2+|PF2|^2=|F1F2|^2=100,而三角形PF1F2的面積為S=[|PF1||PF2|sin90]/2=|PF1||PF2|/2<=(|PF1|^2+|PF2|^2)/4=25,
所以三角形的最大面積為25,取最大值時有|PF1|=|PF2|=5√2.