用數(shù)學(xué)歸納法證明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2
證明:
當(dāng)n=1時(shí),a1*(1/a1)=1>=1^2 成立.
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立.
即:(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)>=k^2
則 n=k+1時(shí),
(a1+a2+...+ak+a)*(1/a1+1/a2+...1/ak+1/a)
=(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1
>=k^2+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1 {由n=k時(shí)的結(jié)論}
>=k^2+2*根號(hào)[a*(1/a1+1/a2+...1/ak)*1/a*(a1+a2+...+ak)]+1 {算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)}
=k^2+2*根號(hào)[(1/a1+1/a2+...1/ak)*(a1+a2+...+ak)]+1 {由n=k時(shí)的結(jié)論}
>=k^2+2*k+1
=(k+1)^2
因此當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.
命題得證.