易知雙曲線的焦點為F2（6,0）和F1（-6,0）,正好是兩個圓的圓心
以F1為圓心的圓的半徑為r1=2
以F2為圓心的圓的半徑為r2=1
則點PMF1可以構(gòu)成一個三角形；點PNF2也可以構(gòu)成一個三角形,這些三角形都符合“兩邊之和大于第三邊”和“兩邊之差小于第三邊”的定理.
在△MF1P中：
|PM|<|PF1|+r1①
在△PF2N中：
-|PN|<-|PF2|+r2②
由①②相加,得：
|PM|-|PN|<|PF1|-|PF2|+r1+r2
由于|PF1|-|PF2|=2a=8,r1+r2=3
則|PM|-|PN|<11③
當然,這個結(jié)果僅僅是在三角形之內(nèi)
但是,如果當三個點在同一直線上時,它們就無法構(gòu)成一個三角形,而是構(gòu)成了一條線段.這個時候就可以取到等號.
當M與PF1共線且M在PF1的左側(cè)時,①的式子就變成了|PM|=|PF1|+r1
同理,當N與PF2共線,且N在PF2的中間時,②的式子就變成了-|PN|=-|PF2|+r2
這樣,③就變成了|PM|-|PN|=11
因此11就是最大值了,這是當且僅當3點共線的時候的.
當然,最小值也可以求出來的,不過此題沒要求.不過真的要求,同理也可以很快求得.