已知函數(shù)f（x）=x2+ax，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

已知函數(shù)f（x）=x²+ax，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

數(shù)學(xué)人氣：642 ℃時(shí)間：2019-08-19 20:56:12

優(yōu)質(zhì)解答

（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）=（1-x）²+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于對(duì)任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根據(jù)（1）可知f（x）=x²-2x，下面證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
設(shè)x₁＞x₂≥1，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-2x₁）-（x₂²-2x₂）
=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，則x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

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