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  • 已知x=1是函數(shù)f(x)=(ax-2)ex的一個(gè)極值點(diǎn).(a∈R) (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)當(dāng)x1,x2∈[0,2]時(shí),證明:f(x1)-f(x2)≤e.

    已知x=1是函數(shù)f(x)=(ax-2)ex的一個(gè)極值點(diǎn).(a∈R)
    (Ⅰ)求a的值;
    (Ⅱ)當(dāng)x1,x2∈[0,2]時(shí),證明:f(x1)-f(x2)≤e.
    數(shù)學(xué)人氣:215 ℃時(shí)間:2020-02-05 01:46:35
    優(yōu)質(zhì)解答
    (Ⅰ)已知f′(x)=(ax+a-2)ex,f'(1)=0,∴a=1.
    當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=(x-1)ex,在x=1處取得極小值.
    (Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,f(x)=(x-2)ex,f′(x)=(x-1)ex
    當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f′(x)=(x-1)ex≤0,∴f(x)在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞減;
    當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f′(x)=(x-1)ex>0,∴f(x)在區(qū)間(1,2]單調(diào)遞增.
    所以在區(qū)間[0,2]上,f(x)的最小值為f(1)=-e,又f(0)=-2,f(2)=0,
    所以在區(qū)間[0,2]上,f(x)的最大值為f(2)=0.
    對(duì)于x1,x2∈[0,2],有f(x1)-f(x2)≤fmax(x)-fmin(x).
    所以f(x1)-f(x2)≤0-(-e)=e.
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