顯然x=0時(shí)方程有1=0,矛盾表明x≠0將方程兩邊同時(shí)除以x^2則(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0因x有解,則x+1/x有解則⊿=a^2-4(b-2)≥0即a^2≥4b-8所以a^2+b^2≥b^2+4b-8=(b+2)^2-12≥-12即(a^2+b^2)...可是答案是4/5啊≤-2是有問題。首先一個(gè)低級錯(cuò)誤就是a^2+b^2本身是個(gè)非負(fù)數(shù)，最小值不可能是負(fù)數(shù)更正如下：顯然x=0時(shí)方程有1=0，矛盾表明x≠0將方程兩邊同時(shí)除以x^2則(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0 令y=x+1/x則上述方程為y^2+ay+(b-2)=0（I） 令方程（I）的解為m、n（可能相等可能不相等） 當(dāng)x>0時(shí)由基本不等式知y=x+1/x≥2即m≥2，n≥2由韋達(dá)定理有m+n=-amn=b-2即有a=-(m+n)b=mn+2所以a^2+b^2=(m+n)^2+(mn+2)^2=m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≥2）因?qū)ΨQ軸m=-3n/(n^2+1)<0（注意到n≥2）則當(dāng)m≥2時(shí)f(m)min=f(2)=5n^2+12n+8而因n≥2即有f(m)min≥52 當(dāng)x<0時(shí)，即-x>0由基本不等式知y=x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]≤-2即m≤-2，n≤-2由韋達(dá)定理有m+n=-amn=b-2即有a=-(m+n)b=mn+2所以a^2+b^2=(m+n)^2+(mn+2)^2=m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≤-2）因?qū)ΨQ軸m=-3n/(n^2+1)>0（注意到n≤-2）則當(dāng)m≤-2時(shí)f(m)min=f(-2)=5n^2-12n+8=5(n-6/5)^2+4/5而因n≤-2則n-6/5≤-16/5于是有(n-6/5)^2≥256/25即有f(m)min≥52 綜上知a^2+b^2≥52