f（x）=cosx，則函數(shù)的周期為2π，故“f（x）=cosx”是“f（x）是周期函數(shù)”的一個充分不必要條件，故A不正確；
?α∈R，f（α+x）=f（α-x），則任意實數(shù)都是函數(shù)的周期，故“?α∈R，f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函數(shù)”的一個充分不必要條件，故B不正確；
f（1+x）=f（1-x），則函數(shù)的周期為2，故“f（1+x）=f（1-x）”是“f（x）是周期函數(shù)”的一個充分不必要條件，故C不正確；
?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x），則函數(shù)的周期為2α，故“?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函數(shù)”的一個充分不必要條件，故D正確；
故選D