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    已知函數(shù)f（x）滿足f(x)＝x3+f ′(2/3)x2?x+C（其中f ′(2/3)為f（x）在點(diǎn)x＝2/3處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）． （1）求f ′(2/3)的值； （2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
    

    已知函數(shù)f（x）滿足f(x)＝x3+f ′(
    2
    3
    )x2?x+C    （其中f ′(
    2
    3
    )    為f（x）在點(diǎn)x＝
    2
    3
    處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）．
    （1）求f ′(
    2
    3
    )    的值；
    （2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
    

    數(shù)學(xué)人氣：505 ℃時(shí)間：2020-05-18 01:00:30
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    （1）由f(x)＝x3+f ′(
    2
    3
    )x2?x+C    ，得f ′(x)＝3x2+2f ′(
    2
    3
    )x?1    ．
    取x＝
    2
    3
    ，得f ′(
    2
    3
    )＝3×(
    2
    3
    )2+2f ′(
    2
    3
    )×(
    2
    3
    )?1    ，
    解之，得f ′(
    2
    3
    )＝?1    ，…（6分）
    （2）因?yàn)閒（x）=x3-x2-x+C．
    從而f ′(x)＝3x2?2x?1＝3(x+
    1
    3
    )(x?1)    ，列表如下：
     
     x (?∞，?
    1
    3
    )    		 ?
    1
    3
    		 (?
    1
    3
    ，1)    		 1 （1，+∞）
     
     f'（x） + 0 - 0 +
     
     f（x） ↗ 有極大值 ↘ 有極小值 ↗
    ∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(?∞ ， ?
    1
    3
    )    ，（1，+∞）；
    f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(?
    1
    3
     ， 1)    ．…（12分）
    

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