（1）證明：任取x₁，x₂∈R，且x_1＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

（2分）
∵y=2^x在（-∞，+∞）上遞增，而x₁＜x₂∴2x1＜2x2∴2x1-2x2＜0（4分）
又（2x1+1）（2x2+1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)（6分）
（2）f（x）為奇函數(shù)，f（0）=a-

2

20+1

=a-1=0∴a=1
經(jīng)檢驗，a=1時f（x）是奇函數(shù)（10分）
（3）由（2）知，f（x）=1-

2

2x+1

∵2^x+1＞1∴0＜

1

2x+1

＜1∴f（x）∈（-1，1）（14分）