已知橢圓x^2/9+y^2/4=1,直線x+2y+18=0,試在橢圓上求一點P,使點P到這條直線最短

數(shù)學(xué)人氣：600 ℃時間：2020-03-30 05:19:35

優(yōu)質(zhì)解答

在橢圓上作切線L使其平行于直線x+2y+18=0,切點為p.此時p到這條直線的距離有最大值和最小值.
設(shè)L的方程為y=-1/2x+b,代入橢圓方程,得
x^2/9+(1/2x-b)^2/4=1
∴4x^2+9(1/2x-b)^2=36
∴25x^2-36bx+36b^2-144=0
△=b^2-4ac=(36b)^2-4×25(36b^2-144)=0
∴b=±5/2
當(dāng)b=-5/2時,取得最小值
此時切線方程為y=-0.5x-2.5
∴25^2-36(-2.5)x+36(2.5)^2-144=0
∴x=-1.8
∴y=-1.6
∴p坐標(biāo)為(-1.8,-1.6)