高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)必修一一、集合 一、集合有關(guān)概念
1. 集合的含義
2. 集合的中元素的三個(gè)特性：
(1)元素的確定性如：世界上最高的山
(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的無(wú)序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列舉法與描述法.
u 注意：常用數(shù)集及其記法：
非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N
正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R
1）列舉法：{a,b,c……}
2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法.{x?R| x-32} ,{x| x-32}
3）語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn圖:
4、集合的分類：
(1)有限集 含有有限個(gè)元素的集合
(2)無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
二、集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2．“相等”關(guān)系：A=B (5≥5,且5≤5,則5=5)
實(shí)例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集.AíA
②真子集:如果AíB,且A1 B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)
③如果 AíB, BíC ,那么 AíC
④ 如果AíB 同時(shí) BíA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.
u 有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集
二、函數(shù)1、函數(shù)定義域、值域求法綜合2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問(wèn)題的解題策略 3、恒成立問(wèn)題的求解策略 4、反函數(shù)的幾種題型及方法5、二次函數(shù)根的問(wèn)題——一題多解指數(shù)函數(shù)y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a0,a、b屬于Q)(a^a)^b=a^ab(a0,a、b屬于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a0,a、b屬于Q)指數(shù)函數(shù)對(duì)稱規(guī)律：1、函數(shù)y=a^x與y=a^-x關(guān)于y軸對(duì)稱2、函數(shù)y=a^x與y=-a^x關(guān)于x軸對(duì)稱3、函數(shù)y=a^x與y=-a^-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga^x 如果 ,且 , , ,那么：
1 · ＋ ；
2 － ；
3．
注意：換底公式
（ ,且 ； ,且 ； ）．
冪函數(shù)y=x^a(a屬于R) 1、冪函數(shù)定義：一般地,形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 為常數(shù)．
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．
（1）所有的冪函數(shù)在（0,+∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1,1）；
（2） 時(shí),冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間 上是增函數(shù)．特別地,當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸；
（3） 時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi),當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在 軸右方無(wú)限地逼近 軸正半軸,當(dāng) 趨于 時(shí),圖象在 軸上方無(wú)限地逼近 軸正半軸．
方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù) ,把使 成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù) 的零點(diǎn).
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) 的零點(diǎn)就是方程 實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
即：方程 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) 的圖象與 軸有交點(diǎn) 函數(shù) 有零點(diǎn)．
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：
1 （代數(shù)法）求方程 的實(shí)數(shù)根；
2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：
二次函數(shù) ．
（1）△＞0,方程 有兩不等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）△＝0,方程 有兩相等實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn),二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．
（3）△＜0,方程 無(wú)實(shí)根,二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn),二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．三、平面向量 向量：既有大小,又有方向的量．
數(shù)量：只有大小,沒(méi)有方向的量．
有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
零向量：長(zhǎng)度為 的向量．
單位向量：長(zhǎng)度等于 個(gè)單位的向量．
相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量向量的運(yùn)算
加法運(yùn)算
AB＋BC＝AC,這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則.
已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB,以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和,這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則.
對(duì)于零向量和任意向量a,有：0＋a＝a＋0＝a.
|a＋b|≤|a|＋|b|.
向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律.
減法運(yùn)算
與a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,－(－a)＝a,零向量的相反向量仍然是零向量.
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b).
數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,|λa|＝|λ||a|,當(dāng)λ0時(shí),λa的方向和a的方向相同,當(dāng)λ0時(shí),λa的方向和a的方向相反,當(dāng)λ = 0時(shí),λa = 0.
設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù),那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a).
向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算.
向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a?b,θ是a與b的夾角,|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.零向量與任意向量的數(shù)量積為0.
a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積.
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.四、三角函數(shù)1、善于用“1“巧解題2、三角問(wèn)題的非三角化解題策略3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法4、三角函數(shù)向量綜合題例析5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法 15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：
函
數(shù)
性
質(zhì)

圖象
定義域
值域
最值
當(dāng) 時(shí), ；當(dāng)
時(shí), ．
當(dāng) 時(shí),
；當(dāng)
時(shí), ．
既無(wú)最大值也無(wú)最小值
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在
上是增函數(shù)；在
上是減函數(shù)．
在 上是增函數(shù)；在
上是減函數(shù)．
在
上是增函數(shù)．
對(duì)稱性
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
對(duì)稱軸
對(duì)稱中心
無(wú)對(duì)稱軸
必修四
角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與 軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱 為第幾象限角．
第一象限角的集合為
第二象限角的集合為
第三象限角的集合為
第四象限角的集合為
終邊在 軸上的角的集合為
終邊在 軸上的角的集合為
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為
3、與角 終邊相同的角的集合為
4、已知 是第幾象限角,確定 所在象限的方法：先把各象限均分 等份,再?gòu)?軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則 原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為 終邊所落在的區(qū)域．
5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 弧度．
口訣：奇變偶不變,符號(hào)看象限．
公式一：
設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
設(shè)α為任意角,π α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
其他三角函數(shù)知識(shí)：
同角三角函數(shù)基本關(guān)系
⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
倒數(shù)關(guān)系:
tanα ?cotα＝1
sinα ?cscα＝1
cosα ?secα＝1
商的關(guān)系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方關(guān)系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
兩角和差公式
⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ?tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ?tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）
1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα
萬(wàn)能公式
⒌萬(wàn)能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)
和差化積公式
⒎三角函數(shù)的和差化積公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----?sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—-----
2 2
積化和差公式
⒏三角函數(shù)的積化和差公式
sinα ?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ?sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ?cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ?sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]